เจ้าบุญเลิศ เกิดเมื่อปี พ.ศ. 2450 เป็นโอรสเจ้าบุญสม ณ เชียงใหม่ กับแม่คำตุ้ม ณ เชียงใหม่ ต่อมาเมื่อแม่คำตุ้ม เสียชีวิต เจ้าบุญสม แต่งงานใหม่กับแม่บัวแก้ว บุตรธิดา 2 คน คือ อาจารย์สิทธิพงศ์ ณ เชียงใหม่ อดีตผู้อำนวยการวิทยาลัยเทคนิคเชียงใหม่ และนางผ่องพรรณ เสียมภักดี

เจ้าบุญเลิศ สมรสกับนางสมศรี ณ เชียงใหม่ (สกุลเดิม ส่วยสุพรรณ) มีบุตร 2 คน คือ นายบุญประเสริฐ ณ เชียงใหม่ กับนางพวงลัดดา ณ เชียงใหม่ (เสียชีวิตแต่เยาว์) ต่อมาแต่งงานใหม่กับนางศรีทอน ณ เชียงใหม่ มีบุตรธิดา 4 คน คือ[2]

• นายพีรพงศ์ ณ เชียงใหม่
• นายสุรพงษ์ ณ เชียงใหม่
• นางศิริวรรณา ณ เชียงใหม่
• นางภัสราภรณ์ ณ เชียงใหม่

เจ้าบุญเลิศ เข้ารับการศึกษาที่โรงเรียนมหาดเล็กหลวง จนสำเร็จการศึกษาชั้นมัธยมปีที่ 8

เจ้าบุญเลิศ ณ เชียงใหม่ เป็นเจ้านายฝ่ายเหนือที่ได้เข้าร่วมฟ้อนนำในกระบวนเครื่องพระขวัญของพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว ภูมิพลอดุลยเดช ในพิธีถวายพระขวัญเมื่อครั้งเสด็จพระราชดำเนินทรงเยี่ยมราษฎรในจังหวัดทางภาคเหนือ วันที่ 5 มีนาคม พ.ศ. 2501[3][4]